Родился 1 июня 1955 года в Москве. Музыкальное образование получил в Музыкальной школе-десятилетке им. Гнесиных, а затем в Московской консерватории, где его учителями были Феликс Андриевский, Юрий Янкелевич, Леонид Коган и Игорь Безродный.
В 1977 – 1981 завоёвывает высшие премии на международных конкурсах скрипачей в Югославии, Канаде и на Всесоюзном конкурсе в Латвии.
С 1977 по 1988 год гастролировал по городам СССР и странам Восточной Европы, в связи с запретом выезда на Запад.
С 1988 года география гастролей охватывает США, Канаду, Бразилию, страны Западной Европы и Азии.
С 1978 по 1993 преподавал в Московской государственной консерватории. В 1993 году был приглашён в США в качестве профессора скрипки – сначала в Университет штата Индиана, а затем в Университет штата Джорджия. Его ученики являются лауреатами различных международных конкурсов, занимают ведущие позиции во многих европейских и американских оркестрах и преподают в ряде американских университетов.
В 1989 году Л. Амбарцумян основал в Москве камерный оркестр «АРКО», который сразу же завоевал международное признание и высокую оценку критики. Базой оркестра в настоящее время является Университет штата Джорджия, США.
В 2009 году награжден золотой медалью Союза московских композиторов за вклад в современную музыкальную культуру.
Л. Амбарцумяном выпущено более 50 дисков компакт-дисков с музыкой Вивальди, Мендельсона, Венявского, Брамса, Шостаковича, Шнитке, а также современных российских, армянских и американских композиторов.
В 2009 году награжден золотой медалью союза московских композиторов за вклад в современную музыкальную культуру.
Профессор, Заслуженный артист Армении (1988), Заслуженный артист России (1997).

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я