Профессиональный оркестровый тубист, родился г. в Москве, в рабочей семье. Единственный человек в родне, занимавшийся музыкой как любитель, и бывший по профессии настройщиком фортепиано, двоюродный брат Анатолий Левашкин, который приобщил к музыке, а в последствие помог советом и делом в освоение настройки, так что А. Левашкин знаком с ней не понаслышке. Вскоре после первых шагов в музыке, сделанных уже в достаточно зрелом возрасте, в 1962 г., А. Левашкин, с помощью друзей, попал в Дом Пионеров на Ленинских горах, где занимался в духовом оркестре на тубе у М.Ф. Аничкина. В 1963 г. поступил в музыкальное училище им. Гнесиных, в класс Б.П. Григорьева по тубе, и до 1973 г., с перерывами, занимался у него. Заканчивал заочное отделение института им. Гнесиных у В.Н. Досадина в 1977 г.
С 1973 по 1981 гг. работал в различных коллективах; симфоническом оркестре, духовых оркестрах, армейском ансамбле песни и пляски в Германии. С 1981 по 1985 гг. работал в МГСО под управлением В.Б. Дударовой, а с 1985 по настоящее время работает в ГАСО России под управлением Е. Светланова.
В июле 1995 г., в качестве приглашенного артиста, А. Левашкин участвовал в Международной Конференции Тубы и Эуфониума в США, где был принят в члены T.U.B.A. Герхард Майнль, владелец нескольких компаний-производителей музыкальных инструментов, большой друг многих тубистов, человек, много делающий для развития и популяризации тубы во всем мире, подарил ему тубу B&S-Perantucci в строе СИ-бемоль, с которой автор изображен на фотографии. На раструбе выгравирована дарственная надпись: "B&S от имени T.U.B.A. - Алексею Левашкину".