Родился в Челябинске. Музыкой начал заниматься в школьном ансамбле, на бас-гитаре.
В 1994 году окончил РАМ им. Гнесиных (класс контрабаса А.В.Соболева).
Лауреат XIII Всемирного фестиваля молодежи и студентов (Пхеньян, 1989), Первого Всероссийского конкурса молодых джазовых исполнителей (Ростов-на-Дону, 1991), Международного конкурса «Молодые джазовые музыканты мира» (Бухарест, 1997, гран-при), конкурса джазовых музыкантов Европы (Брюссель, 1998). Участник многих престижных джазовых фестивалей.
Дебютировал в ансамбле Александра Сухих. Обрел известность в 1993–1998 годах, выступая в составе квинтета «Игорь Бриль и новое поколение». С 1997 года играл в дуэте с пианистом и композитором Андреем Разиным, с 1998 – в его трио современной джазовой музыки «Второе Приближение».
В настоящее время Игорь Иванушкин – постоянный участник трио Фредерика Белинского, группы Аркадия Шилклопера, трио Олега Бутмана, а также ансамбля, сопровождающего авторские концерты Сергея Никитина.
Сотрудничает также с такими джазовыми музыкантами, как Владимир Чекасин, Алексей Козлов, Даниил Крамер, Владимир Тарасов, Игорь Широков, Олег Киреев, Алексей Кузнецов, Алексей Круглов, Клаус Кугель, Майк Эллис, Роузвел Радд, Бирели Лагрен, Штокило Розенберг, Андреас Оберг, Дидье Локвуд, Шерон Кларк, Лиза Хенри, Кливленд Уоткинсон.
С 2020 года – преподаватель в Институте современных искусств.

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я