Родился в Омске. Окончил Омское музыкальное училище им. В. Шебалина (класс домры В.Г.Патрашовой). ГМПИ (ныне – РАМ) им. Гнесиных и ассистентуру-стажировку (класс профессора Р.В.Белова). Факультативно прошел курс композиции у профессора Ю.Н.Шишакова.
Будучи студентом I курса института удостоен звания Лауреата и серебряной медали на Международном конкурсе IX Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Софии (Болгария, 1968). Лауреат I Всероссийского конкурса исполнителей на народных инструментах (Москва, 1972, 1-я премия).
С 1971 до настоящего времени – солист и артист Государственного академического русского народного оркестра им. Н.П.Осипова.
С 1982 до настоящего времени – солист на домре в концертно-филармоническом отделе (ныне объединении) Москонцерта. Со своей женой, пианисткой-аккомпаниатором Инной Шевченко в течение 36 лет Александр Цыганков дал около 1500 сольных концертов во всех регионах Российской Федерации, республиках бывшего Советского Союза и зарубежных странах. С Инной Шевченко записано несколько компакт-дисков в России, Голландии, Японии, США.
На протяжении 40-летнего творческого пути А.Цыганков активно участвует в камерно-ансамблевой деятельности, среди ансамблей – "Русская мозаика", Трио под управлением Анатолия Беляева, ансамбль "Русский Фестиваль", квартет "Родимая сторонка", "Московский квартет" Российской академии музыки им. Гнесиных.
Периодически музыкант выступает с симфоническими оркестрами.
В РАМ им. Гнесиных А.Цыганков преподает более тридцати лет. Среди выпускников его класса – лауреаты Всероссийских и международных конкурсов: Также проводил мастер-классы в США, Японии, Норвегии.
Автор более семидесяти сочинений для народных инструментов, автор более пятидесяти обработок народных тем.
Профессор Российской академии музыки им. Гнесиных. Член Союза композиторов Москвы.
Народный артист России (1998).
Кавалер ордена Дружбы и лауреат Премии Правительства Российской Федерации в области культуры (2008).

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я