Родился 13 февраля 1924 года в селе Яшата Степновского района Ростовской области (ныне республика Калмыкия). В 1931 году семья была раскулачена и сослана на Урал, в район Нижнего Тагила. С 1939 учился в Свердловском музыкальном училище по классу кларнета, в 1943 вступил в состав Уральского добровольческого танкового корпуса, где служил в медсанбате. Вместе с танковым корпусом дошёл до Берлина.
В 1946 Мозговенко поступил в Музыкально-педагогический институт имени Гнесиных, где обучался по классу кларнета у А.Л. Штарка (окончил в 1951, аспирантуру в 1954). В 1951 он завоевал первую премию на международном конкурсе в Берлине, с этого же времени активно выступает как солист и камерный музыкант, в том числе со струнным квартетом имени Бородина. В 1953–1968 Мозговенко – солист симфонического оркестра Комитета кинематографии СССР. В сотрудничестве с квартетом имени Бородина и другими камерными ансамблями Мозговенко сделал записи сочинений В.А. Моцарта, И.Брамса, С.С. Прокофьева и некоторых современных композиторов.
С 1951 Мозговенко преподаёт в Российской академии музыки имени Гнесиных, в 1980 ему было присвоено звание профессора. Среди его учеников – выдающиеся кларнетисты, лауреаты международных конкурсов, ныне ведущие концертную и преподавательскую деятельность: Ханнес Алтров, Иван Бричиков, Геннадий Забара,Александр Карпов, Иван Оленчик, Маргарита Шапошникова, Кирилл Рыбаков, Самсонов Андрей Валерьевич, Рафаэль Оганесович Багдасарян.
И.Мозговенко – автор ряда учебных пособий и переложений для кларнета.
Награждён орденами: «За заслуги перед Отечеством» 4-й степени, Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды; медалями: «За боевые заслуги» (дважды), «За взятие Берлина», «За освобождение Праги», «За победу над Германией», «Ветеран труда», другими памятными медалями и знаками.
В 2020 году награждён Почётной грамотой Президента Российской Федерации.