Родился в Петрограде. Отец был виолончелистом, а мать — пианисткой.
С восьми с половиной лет занимался под руководством отца Бориса Семёновича Шафрана (1896—1980), который тридцать лет возглавлял виолончельную группу Симфонического оркестра Ленинградской филармонии.
С 1933 г. - в особой детской группе при Ленинградской консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова (под руководством А. Я. Штримера).
1937 г. – победа на Всесоюзном конкурсе скрипачей и виолончелистов в Москве (1-я премия). Тогда же была сделана его первая грамзапись — Вариации на тему рококо П. И. Чайковского. Начал играть на виолончели Амати 1630 года, которую он использовал всю свою творческую жизнь.
В начале войны эвакуировался в Новосибирск, где впервые исполнил виолончельные концерты Л. Боккерини, Й. Гайдна, Р. Шумана, А. Дворжака.
В 1943 году стал солистом Московской филармонии. После окончания войны, в 1946 году исполнил виолончельную сонату Д. Д. Шостаковича в ансамбле с автором, которая была записана на пластинку.
С 1946 года начал гастролировать за рубежом, посетив Австрию, Австралию, Германию, Бельгию, Польшу, Канаду, Италию, Великобританию, Чехословакию, США, Японию, страны Ближнего Востока и Латинской Америки.
В 1949 году был удостоен 1-й премии конкурса Международного фестиваля молодёжи и студентов в Будапеште.
В 1950 году окончил Ленинградскую консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова по классу виолончели у А. Я. Штримера.
Исполнял и записывал обширный репертуар: концерты Р. Шумана, К. Сен-Санса, А. Дворжака (увековеченный на золотом диске в ансамбле с К. М. Джулини), Д. Мийо, С. Барбера, С. С. Прокофьева, А. И. Хачатуряна, Д. Д. Шостаковича, все сонаты Л. Бетховена и И. Брамса, все шесть сюит И. С. Баха, сочинения М. Равеля, К. Дебюсси, и современную музыку: первый концерт Т. Н. Хренникова, оба концерта Д. Б. Кабалевского (второй и посвящён Шафрану), а также сочинения Б. А. Арапова, С.Ф.Цинцадзе, Б. А. Чайковского, А. Г. Шнитке, М. С. Вайнберга, с Первой сонатой которого музыкант дебютировал в 1960 году на сцене Карнеги-холла.
Его игра отмечена тонкой поэтичностью, артистизмом, яркой виртуозностью, уникально певучим звуком.
Много времени уделял преподавательской деятельности. Давал мастер-классы в Германии, Люксембурге, Италии, Англии, Финляндии, Японии и других странах.
Был председателем жюри многих международных виолончельных конкурсов, в том числе Международного конкурса имени П. И. Чайковского (1974—1990).
Автор ряда статей, опубликованных в советских журналах.
Народный артист СССР (1977). Лауреат Сталинской премии третьей степени (1952)

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я