Родился в Москве в семье музыкантов. Получил образование в Музыкальном колледже при МГИМ им. А.Г.Шнитке (класс профессора А.Леденёва), Российской академии музыки имени Гнесиных (класс профессора Ф. Липса). Затем продолжил обучение в Королевской академии музыки в Лондоне (класс профессора О. Мюррея), которую окончил с отличием в 2017 году.
Лауреат более тридцати международных состязаний, в том числе Classica Nova в Германии, где завоевал свою первую награду в возрасте восьми лет. Стал первым россиянином, одержавшим победу на Международном конкурсе в Клингентале в категории до 12 лет. В дальнейшем стал победителем конкурсов в Кастельфидардо (Италия, 2009), «Трофей мира» в Спокане (США, 2012), Arrasate Hiria в Испании (2011), в Клингентале (Германия, 2013), Первого Всероссийского музыкального конкурса в Москве (2013).
В 2014–2016 гг. был удостоен премий имени К.Дженкинса, Фонда Хаттори и меценатов Королевской академии музыки в Лондоне. Неоднократно выступал на международном фестивале «Баян и баянисты» в Москве.
В 2015 году Иосиф Пуриц стал первым в истории академическим музыкантом BBC Introducing – британской платформы по поддержке молодых талантов. С тех пор он неоднократно выступал в эфире Британской телерадиовещательной корпорации, а также принимал участие в фестивалях и концертах, организуемых Би-би-си.
Гастролировал в США, Великобритании, Канаде, Австрии, Швеции, Финляндии, Германии, Чехии, Китае, Франции, Испании, Израиле, Дании и других странах. Выступал в Большом зале Московской консерватории, Концертном зале им. П.И.Чайковского, Карнеги-холле (Нью-Йорк), Уигмор-холле (Лондон), венском Концертхаусе, Центре искусств Торонто (зал Джорджа Уэстона), концертном зале Нюброкайен (Стокгольм), Национальном доме на Виноградах (Прага), зале Пекинской консерватории, Датской королевской академии изящных искусств (Копенгаген), Зале UNESCO (Париж), Зале Государственной капеллы Санкт-Петербурга.