Родился в Воронеже. В 1988 году окончил Воронежское музыкальное училище (экстерном) у И.В.Иншакова. С 1988 по 1989 год служил в ансамбле песни и пляски Балтийского флота. В 1994 году окончил ГМПИ им. Гнесиных (класс проф. П.И.Нечепоренко) затем ассистентуру-стажировку РАМ им. Гнесиных (1997).
Первое выступление на сцене состоялось в 1978 году. В 1992 году А.Горбачев получил Гран-при и специальную премию «За артистизм» на Первом Международном конкурсе исполнителей на народных инструментах «Кубок Севера» (Череповец). В 1993 году – первую премию и специальную премию «За лучший ансамбль» на Первом Международном конкурсе исполнителей на русских народных инструментах им. В.В.Андреева (Тверь).
С 1990 по 2015 год выступал в составе «Классик-дуэта» с пианисткой Т.Ханиновой.
А.Горбачев выступал перед королевой Англии Елизаветой II (1992), президентами России Б.Н.Ельциным (1994), В.В.Путиным (2012), президентом Швейцарии Дорис Лаутхард (2010), президентом Финляндии Тарьей Халопонен (2010).
С 2011 года выступает с Д.Мацуевым и А.Ивановым в джазовых проектах.
А.Горбачев является участником Международных фестивалей «Крещендо», «Денис Мацуев приглашает», «Московская музыкальная осень», Шлезвиг Хольштейн мьюзик фестиваль (Германия), «Баян и баянисты», «Современная музыка для оркестров народных инструментов», «Струны молодой России», «Созвездие мастеров» и других.
Художественный руководитель всероссийской акции «Балалайка – душа России», президент Международного фестиваля «Байкальские струны» (Иркутск).
С 2000 г. преподает в РАМ им. Гнесиных. С 2004 г. – доцент, заведующий кафедрой струнных народных инструментов, с 2010 г. – профессор. Автор пятидесяти печатных работ, в том числе авторских программ по дисциплинам «Специальный инструмент. Балалайка», «Методика обучения игре на струнных щипковых инструментах», «Основы современного репертуара», автор-составитель Антологии литературы для балалайки (2011).
Среди учеников А.А.Горбачева более сорока лауреатов всероссийских и международных конкурсов.
А.Горбачев сыграл более тридцати пяти мировых премьер новых оригинальных сочинений для балалайки. Специально для А.Горбачева написали композиторы: С.Слонимский, Е.Подгайц, М.Броннер, Т.Сергеева, К.Волков, А.Кусяков, А.Цыганков, Т.Чудова, Е.Дербенко, В.Беляев и др.
Сыграл более двух тысяч концертов в России и за рубежом, регулярно выступает с ведущими симфоническими оркестрами и оркестрами народных инструментов.
А.Горбачев значительно расширил технические и художественные возможности балалайки, предложил способы звукоизвлечения, характерные для верхнего регистра балалайки. По его предложению мастером Е.Н.Виноградовым были впервые изготовлены инструменты с 31-м ладом.
В 2020 году награжден Почетной грамотой Министерства культуры РФ и Почетной грамотой Министерства науки и высшего образования РФ.